超出一个标准差的 Rademacher 和的概率质量

设 $a_1, \dots, a_n \in \mathbb{R}$ 满足 $\sum_i a_i^2 = 1$，并设 $\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n$ 为均匀随机的 $\pm 1$ 符号，且 $X = \sum_{i=1}^{n} a_i \varepsilon_i$。据猜想，$X = \sum_{i=1}^{n} a_i \varepsilon_i$ 有 $\Pr[X \geq 1] \geq 7/64$。迄今为止最好的下界是由 Oleszkiewicz 给出的 $1/20$。在本文中，我们将其改进为 $\Pr[X \geq 1] \geq 6/64$。