独立随机变量和的小偏差

Feige 的一个著名发现如下：令 $X_1, \ldots, X_n$ 为非负独立随机变量，且 $\mathbb{E}[X_i] \leq 1 \;\forall i$，并令 $X = \sum_{i=1}^n X_i$。则对任意 $n$，$$\Pr[X < \mathbb{E}[X] + 1] \geq \alpha > 0,$$ 对某个 $\alpha \geq 1/13$ 成立。该界后被 He、Zhang 和 Zhang 改进至 $1/8$。通过对前四阶矩的更精细考量，我们进一步将该界改进至约 $.14$。猜想的真实界为 $1/e \simeq .368$，因此仍（可能）留有相当差距待填补。