R^d 中高斯分布的经验逼近

设 $G_1,\dots,G_m$ 为 $\mathbb{R}^d$ 中标准高斯随机向量的独立副本。我们证明存在绝对常数 $c$，使得对任意 $A \subset S^{d-1}$，以至少 $1-2\exp(-c\Delta m)$ 的概率，对所有 $t\in\mathbb{R}$，$$\sup_{x \in A} \left| \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m 1_{ \{\langle G_i,x\rangle \leq t \}} - \mathbb{P}(\langle G,x\rangle \leq t) \right| \leq \Delta + \sigma(t) \sqrt\Delta.$$ 此处 $\sigma(t)$ 为 $1_{\{\langle G,x\rangle\leq t\}}$ 的方差，且 $\Delta\geq \Delta_0$，其中 $\Delta_0$ 由 $A$ 的一个意外复杂度参数确定，该参数刻画了集合的几何结构（Talagrand 的 $\gamma_1$ 泛函）。该界、概率估计与 $\Delta_0$ 的值均（几乎）最优。我们利用这一事实表明，若 $\Gamma=\sum_{i=1}^m \langle G_i,x\rangle e_i$ 是以 $G_1,\dots,G_m$ 为行的随机矩阵，则 $\Gamma(A)=\{\Gamma x: x\in A\}$ 的结构远比此前预期的更为刚性与良好确定。