Sauer-Spencer定理的鲁棒性

我们证明了Sauer和Spencer的一个图嵌入定理的鲁棒版本。为了陈述这个更稀疏的类比，我们定义$G(p)$为$G$的一个随机子图，通过独立地以概率$p \in [0,1]$保留$G$的每条边得到，并令$m_1(H)$为图$H$的最大$1$-密度。我们证明，对于任意常数$\Delta$和$\gamma > 0$，如果$G$是一个具有最小度$\delta(G) \geq (1 - 1/2\Delta + \gamma)n$的$n$顶点宿主图，且$H$是一个最大度$\Delta(H) \leq \Delta$的$n$顶点图，那么对于$p \geq Cn^{-1/m_1(H)}\log n$，随机子图$G(p)$以高概率包含$H$的一个副本。我们的$p$值在log因子意义下是最优的。实际上，我们通过引入一个\emph{扩展阈值}$\delta_{\rm e}(\Delta)$，对$G$上更一般的最小度条件证明了这一结果，使得上述结果对于满足${\delta(G) \geq (\delta_{\rm e}(\Delta) + \gamma)n}$的图$G$成立。我们证明$\delta_{\rm e}(\Delta) \leq (2\Delta-1)/2\Delta$，并进一步猜想$\delta_{\rm e}(\Delta)$等于$\Delta/(\Delta+1)$，这与Bollobás-Eldridge-Catlin猜想中$G$的最小度条件相匹配。我们证明中的一个主要工具是Allen、Böttcher、Hàn、Kohayakawa和Person的膨胀引理的一个顶点扩展版本，我们相信该工具本身具有独立的研究价值。