各向异性高斯分布下统计最优的鲁棒均值与协方差估计

假设 $X_{1}, \ldots, X_{N}$ 是 $\mathbb{R}^d$ 中 $N$ 个独立高斯向量在 $\varepsilon$-污染模型下的样本，其均值为 $\mu$、协方差为 $\Sigma$。在强 $\varepsilon$-污染模型中，我们假设对手将原始高斯样本中的 $\varepsilon$ 比例向量替换为任意其他向量。我们证明存在均值估计量 $\widehat \mu$，以至少 $1 - \delta$ 的概率满足如下形式的界：$$\|\widehat{\mu} - \mu\|_2 \le c\left(\sqrt{\frac{\operatorname{Tr}(\Sigma)}{N}} + \sqrt{\frac{\|\Sigma\|\log(1/\delta)}{N}} + \varepsilon\sqrt{\|\Sigma\|}\right),$$ 其中 $c > 0$ 为绝对常数，$\|\Sigma\|$ 表示 $\Sigma$ 的算子范数。在同一污染高斯设定下，我们构造了协方差矩阵 $\Sigma$ 的估计量 $\widehat \Sigma$，以至少 $1 - \delta$ 的概率满足 $$\left\|\widehat{\Sigma} - \Sigma\right\| \le c\left(\sqrt{\frac{\|\Sigma\|\operatorname{Tr}(\Sigma)}{N}} + \|\Sigma\|\sqrt{\frac{\log(1/\delta)}{N}} + \varepsilon\|\Sigma\|\right).$$ 两个结果在乘法常数因子意义下均为最优。尽管近期鲁棒统计备受关注，在典型高斯情形下同时实现无维度依赖的界仍是未解问题。事实上，若干已有结果要么依赖于维度且要求 $\Sigma$ 接近单位阵，要么对污染水平 $\varepsilon$ 的依赖非最优。作为分析的一部分，我们推导了高斯分布、折叠正态分布与卡方分布中心次序统计量的尖锐集中不等式。