高斯均值的一体化鲁棒估计器

本文旨在证明，一个单一的多元高斯分布均值鲁棒估计器可同时具备五种理想性质。第一，它在计算上易于处理，即其计算时间至多是关于维度、样本量以及污染率倒数的对数项的多项式。第二，它在平移、均匀缩放和正交变换下具有等变性。第三，它具有等于 $0.5$ 的高崩溃点，以及近似等于 $0.28$ 的近极小极大速率崩溃点。第四，当数据由独立观测被对抗性选择的异常值污染时，它在至多一个对数因子意义下是极小极大速率最优的。第五，当污染率趋于零时，它是渐近有效的。该估计器通过迭代重加权方法获得。每个样本点被赋予一个权重，通过求解凸优化问题迭代更新。我们还建立了所提估计器期望误差的与维度无关的非渐近风险界。这是文献中此类结果的首次出现，且仅涉及协方差矩阵的有效秩。最后，我们表明所得结果可推广到次高斯分布，以及未知污染率或未知协方差矩阵的情形。