将椭球拟合到二次数量级的随机点

我们考虑问题 $(\mathrm{P})$：当 $n, d \to \infty$ 时，将 $\mathbb{R}^d$ 中的 $n$ 个标准高斯随机向量拟合到中心化椭球的边界上。该问题被推测存在一个尖锐的可行性相变：对任意 $\varepsilon > 0$，若 $n \leq (1 - \varepsilon) d^2 / 4$，则 $(\mathrm{P})$ 以高概率有解；而若 $n \geq (1 + \varepsilon) d^2 /4$，则 $(\mathrm{P})$ 以高概率无解。迄今为止，负面一侧仅知平凡界 $n \geq d^2 / 2$，而正面一侧最佳结果假设 $n \leq d^2 / \mathrm{polylog}(d)$。本工作中，我们利用 Bartl & Mendelson (2022) 关于随机向量 Gram 矩阵在其尾部行为温和假设下集中的关键结果改进了先前方法。这使我们给出简单证明：当 $n \leq d^2 / C$（其中 $C > 0$ 为某（可能很大）常数）时，$(\mathrm{P})$ 以高概率可行。