关于巴拿赫-马兹尔距离至十字多面体的改进下界

设 $\Gamma$ 为一个 $n\times m$ 矩阵，其元素为独立标准高斯分布。令 $G_m = \Gamma(B_1^m)$ 为其对应的高斯 Gluskin 多面体（等价于 $\ell_1^m$ 的随机 $n$ 维商），其中 $B_1^n = \conv\{\pm e_1,\dots,\pm e_n\}$ 为十字多面体。在 $m = n^3$ 的情形下，我们证明以至少 $1-2/n$ 的概率，$$d_{\mathrm{BM}}(G_m,B_1^n) \ge c n^{4/7}(\log n)^{-C},$$其中 $c$ 和 $C$ 为绝对常数。这改进了此高斯模型下先前最佳指数 $5/9$（在对数因子修正后）的结果；特别是，同样的下界也适用于 $\sup_{K} d_{\mathrm{BM}}(K,B_1^n)$。本文的主要新思想是对“众多小系数”情形下的条件化处理。经过适当的高斯商后，我们应用一种类 Maurey 的稀疏化方法，从而在有效减小熵（实际上将支撑集大小从 $k$ 缩小至 $k/\log(n\rho)$）的代价是对欧几里得空间的扩张。我们通过稳定于欧几里得扩张的高斯测度引理来控制这种扩张。在“少数小系数”情形下，我们给出一种简化的论证，避免了早期工作中的全局倾斜步骤。这些思想共同作用，重新平衡熵与小球估计，从而得到指数 $4/7$。