重尾元素矩阵的商性质及其在盲噪压缩感知中的应用

对一大类具有独立同分布元素的随机矩阵 $A$，我们证明了 $\ell_1$-商性质以指数接近于 1 的概率成立。与先前结果不同，我们的分析不要求元素分布的集中性。我们提供了一个统一证明，可恢复（次）高斯分布与威布尔分布相应的先前结果。我们的发现推广了关于随机多胞形几何的已知结果，给出了由 $A$ 的列所张成的中心对称多胞形中所含最大欧氏球大小的下界。同时，我们的结果在允许即使无噪情形也能以最优样本复杂度恢复的最弱元素分布假设下，确立了盲噪 $\ell_1$-解码器从欠定含噪线性测量 $y = Ax + w$ 中恢复稀疏向量 $x$ 的鲁棒性。我们的分析预测了具有超高斯元素的测量矩阵具有更优的鲁棒性表现，并通过数值实验予以证实。