矩阵 Kesten 递推、逆 Wishart 系综与 Morse 势中的费米子

随机变量 $1+z_1+z_1z_2+\dots$ 出现在许多情境中，且被 Kesten 证明呈现重尾分布。我们考虑该变量及其关联递推到 $N \times N$ 矩阵的自然推广，矩阵或为实对称 $\beta=1$ 或为复 Hermitian $\beta=2$。在此递推的连续极限中，我们证明矩阵分布收敛到随机矩阵的逆-Wishart 系综。完整动力学通过映射到 Morse 势中的 $N$ 个费米子来求解，这些费米子在 $\beta=2$ 时是非相互作用的。在有限 $N$ 下，特征值分布呈现重尾，推广了标量情形下的 Kesten 结果。在大 $N$ 下研究了该势中费米子的密度，并且特征值分布的幂律尾与所谓行列式 Bessel 过程的性质相关，该过程描述了随机矩阵的硬边普适性。对于离散矩阵递推，利用大 $N$ 极限下的自由概率，我们得到了平稳分布的自洽方程。讨论了我们的结果与 Rider 和 Valkó、Grabsch 和 Texier 以及 Ossipov 近期工作的关系。