大重 Wigner 矩阵与任意随机矩阵的极限分布

重 Wigner 矩阵模型推广了经典的 Wigner 矩阵系综：其对角线及非对角线下方的条目相互独立且同分布，其条目的矩量级为 $1/N$，其中 $N$ 为矩阵的阶数。Erd"os-Renyi 稀疏图的邻接矩阵以及具有适当截断重尾条目的矩阵均为重 Wigner 矩阵的实例。我们考虑一族独立的重 Wigner 矩阵 $X_N$ 和一族任意的随机矩阵 $Y_N$，$Y_N$ 与 $X_N$ 独立，并满足一定的技术条件（例如 $Y_N$ 中的矩阵是确定性的且在算子范数下一致有界，或是确定性对角矩阵）。我们在自由概率的意义下刻画了 $(X_N,Y_N)$ 可能的极限联合 *-分布。我们发现这些分布不仅依赖于 $Y_N$ 的 *-分布。我们利用交通分布 (distributions of traffics) 及其自由积的概念来量化关于 $Y_N$ 所需的信息，并推断 $(X_N,Y_N)$ 的极限分布。我们给出了重 Wigner 矩阵与独立随机矩阵联合矩的显式组合公式。当 $Y_N$ 中的矩阵为对角矩阵时，我们给出了这些矩的递推公式。由此，我们得出了单个重 Wigner 矩阵极限特征值分布的新刻画。