由无零点区域得到的随机变量反集中性

本文建立了随机变量的集中性与其概率生成函数根的分布之间的联系。设 $X$ 为取值于 $\{0,\ldots,n\}$ 且 $\mathbb{P}(X = 0)\mathbb{P}(X = n) > 0$ 的随机变量，其概率生成函数为 $f_X$。我们证明：若 $f_X$ 的所有零点 $\zeta$ 满足 $|\arg(\zeta)| \geq \delta$ 且 $R^{-1} \leq |\zeta| \leq R$，则有 $$\operatorname{Var}(X) \geq c R^{-2\pi/\delta}n,$$ 其中 $c > 0$ 为绝对常数。我们表明该结果在 $R$ 的指数因子 $2$ 范围内是最优的。作为推论，我们得以推导出适用于未必为独立同分布随机变量之和的随机变量的 Littlewood--Offord 型定理。