Erdős–Moser 经典问题的新解法

设 $\eta_i, i=1,..., n$ 为独立同分布的伯努利随机变量，以 1/2 的概率取值 $\pm 1$。给定加法群 $G$ 中 $n$ 个元素 $v_1, ..., v_n$ 构成的多重集 $V$，定义 $V$ 的\emph{集中概率}为 $$\rho(V) := \sup_{v\in G} P(\eta_1 v_1 + ... \eta_n v_n =v).$$ Erdős 和 Moser 的一个经典结果断言：若 $v_i$ 为互异实数，则 $\rho(V)$ 为 $O(n^{-3/2}\log n)$。此界随后被 Sárközy 和 Szemerédi 改进为 $O(n^{-3/2})$，该结果在常数因子意义下是紧的。最终结果归功于 Stanley，他运用代数几何工具完整刻画了具有最优集中概率的集合；该结果现已成为代数组合学中的经典。本文中，我们将证明 Stanley 工作中给出的最优集合是稳定的。更重要的是，我们的结果对具有大集中概率的集合给出了近乎完整的刻画。