由部分成对距离确定直线上的点配置

我们在非一般情形下研究实直线与圆上的刚性类问题。具体而言，我们考虑在给定一组互距离 $\mathcal{P} \subseteq {V \choose 2}$ 时唯一确定 $n$ 个不同点 $V = {v_1, \ldots, v_n}$ 位置的问题。我们建立了一个极值结果：若 $|\mathcal{P}| = \Omega(n^{3/2})$，则一个大子集 $V' \subseteq V$（大是指 $|V'| = \Omega(\frac{|\mathcal{P}|}{n})$）的位置可直至等距唯一确定。作为证明中的主要组成部分（其本身可能具有独立意义），我们证明：稠密图 $G=(V,E)$ 中若任意两个不相邻顶点仅有很少公共邻点，则必含大团。此外，我们考察了从随机距离集 $\mathcal{P}$ 重构 $V$ 的问题。我们证明，若每对点之间的距离以概率 $p = \frac{C \ln(n)}{n}$（其中 $C > 0$ 为普适常数）独立已知，则 $V$ 可以高概率从距离中重构。我们提供了一个期望线性运行时间的随机化算法，以高概率返回 $V$ 到直线的正确嵌入。自我们将本文初版发布于 arXiv 以来，后续工作已在随机情形下改进了我们的结果。Gir\~ao、Illingworth、Michel、Powierski 与 Scott 证明了当 $\mathcal{P}$ 依 Erd\"os--R\'enyi 演化揭示时，能够重构 $V$ 的首个时刻的命中时间结果，我们的极值结果位于其论证核心。Montgomery、Nenadov 与 Szab\'o 解决了我们在前一版本中提出的猜想，并证明以高概率从 Erd\"os--R\'enyi 演化抽样的图在其最小度变为 $2$ 的时刻于 $\mathbb{R}$ 中成为全局刚性。