再探超出其中心附近值的二项及相关分布

我们将已知事实推广：对于二项分布 $X_{n,k} \sim \mathrm{Bin}(n, k/n)$，有 $\inf_{k>1,n} \mathrm{P}(X_{n,k} \geq k) \geq \lim_{k \to 1+}\mathrm{P}(X_{2,k} \geq k) = 1/4$，以涵盖超出均值一个常数偏移的概率。该证明非常简短，且此定理将原始结果作为特例给出，同时也证明了类似结果对泊松分布成立。我们进一步证明了贝塔分布族在其众数附近具有类似性质。借助二项分布与贝塔分布之间的联系，这使我们能对关于二项概率的原始结果有进一步的认识。