强关联广义二项分布中 q-统计函数的出现

我们研究了 Bergeron 等人最近引入的对称广义二项分布 p_k^(N)(η, α)，其中 η∈[0,1] 表示获胜概率，α 为正参数。该广义化基于 q-指数生成函数（e_{q^{gen}}^z ≡ [1+(1-q^{gen})z]^{1/(1-q^{gen})}；e_1^z=e^z），其中 q^{gen}=1+1/α。获胜次数 k（与实现次数 N 相关）的概率分布函数的数值计算，在获胜-失败等概率（即 η=1/2）且所有 α 值下强烈趋近于离散 q^{disc}-高斯分布。渐近 N→∞ 分布实际上是一个 q^{att}-高斯 e_{q^{att}}^{-βz²}，其中 q^{att}=1−2/(α−2)，β=(2α−4)。我们也讨论了缩放量 k/N^γ 的行为。对于 γ<1，发现了一种具有 q^{ldl}-指数衰减的大偏差类性质，其中 q^{ldl}=1+1/(ηα)。对于 η=1/2，q^{ldl} 和 q^{att} 通过 1/(q^{ldl}−1)+1/(q^{att}−1)=1 对所有 α 关联。对于 γ=1，大数定律被违反，我们一致地研究相对于 N→∞ 极限分布概率的大偏差，得到幂律，尽管并非精确的 q^{LD}-指数衰减。所有出现的 q-统计参数均由 (η, α) 唯一确定。最后我们讨论了与 Pólya 瓮问题的解析联系。