差有上界的上鞅与鞅的广义矩与尾概率的二项上界

设 $(S_0,S_1,...)$ 是关于非降 $\sigma$-代数序列 $H_{\le0},H_{\le1},...$ 的上鞅，且 $S_0\le0$ 几乎必然（a.s.），差为 $X_i:=S_i-S_{i-1}$。假设对每个 $i=1,2,...$ 有 $X_i\le d$ 且 $\mathsf{Var}(X_i|H_{\le i-1})\le \sigma_i^2$ a.s.，其中 $d>0$ 与 $\sigma_i>0$ 是非随机常数。令 $T_n:=Z_1+...+Z_n$，其中 $Z_1,...,Z_n$ 为独立同分布的随机变量，每个只取两个值，其中之一为 $d$，并满足条件 $\mathsf{E}Z_i=0$ 与 $\mathsf{Var}Z_i=\sigma ^2:=\frac{1}{n}(\sigma_1^2+...+\sigma_n^2)$。于是，基于一类丰富的广义矩函数下 $S_n$ 与 $T_n$ 广义矩之间的比较不等式，得到尾比较不等式 $$\mathsf P(S_n\ge y) \le c \mathsf P^{\mathsf Lin,\mathsf L C}(T_n\ge y+\tfrach2)\quad\forall y\in \mathbb R$$，其中 $c:=e^2/2=3.694...$，$h:=d+\sigma ^2/d$，而函数 $y\mapsto \mathsf{P}^{\mathsf{Lin},\mathsf{LC}}(T_n\ge y)$ 是尾函数 $y\mapsto \mathsf{P}(T_n\ge y)$ 在所有形如 $nd+kh$（$k\in \mathbb{Z}$）的点构成的格上线性插值的极小对数凹主要函数。给出了 $\mathsf{P}^{\mathsf{Lin},\mathsf{LC}}(T_n\ge y+\tfrac{h}{2})$ 的显式公式。在略有不同的条件下给出了另一个类似的界。表明这些界比已知界有显著改进。