Dzhaparidze 和 van Zanten 类型的鞅不等式

Freedman 不等式是 Bennett 不等式的上鞅对应形式。该结果表明，上鞅的尾部概率由二次特征和上鞅差序列的一致上界控制。Dzhaparidze 和 van Zanten (\emph{Stochastic Process. Appl.}, 2001) 通过将二次特征替换为 $\textrm{H}_k^y:= \sum_{i=1}^k\left(\mathbf{E}(\xi_i^2 |\mathcal{F}_{i-1}) +\xi_i^2\textbf{1}_{\{|\xi_i|> y\}}\right),$ 将 Freedman 不等式推广到了具有无界差的鞅。在本文中，我们证明了 $\textrm{H}_k^y$ 可以改进为 $\textrm{G}_k^{y} :=\sum_{i=1}^k \left( \mathbf{E}(\xi_i^2\textbf{1}_{\{\xi_i \leq y\}} |\mathcal{F}_{i-1}) + \xi_i^2\textbf{1}_{\{\xi_i> y\}}\right).$ 此外，我们还建立了两个 Dzhaparidze 和 van Zanten 类型的不等式。这些结果将 Sason 不等式 (\emph{Statist. Probab. Lett.}, 2012) 推广到了可能具有无界差的鞅，并建立了 Sason 不等式与 De la Pe\~{n}a 不等式 (\emph{Ann.\ Probab.,} 1999) 之间的联系。最后给出了在自标准化偏差中的应用。