分支随机游走中复鞅的收敛性：边界

Biggins [Uniform convergence of martingales in the branching random walk. {\em Ann. Probab.}, 20(1):137--151, 1992] 证明了 $d$ 维超临界分支随机游走中加性鞅在开集 $\Lambda \subseteq \mathbb{C}^d$ 内复参数 $\lambda$ 处的局部一致收敛性。我们研究了对应于 $\Lambda$ 的边界 $\partial \Lambda$ 上参数的鞅。该边界可分解为若干部分。边界上可能存在一部分，其上的鞅不存在；在其他部分上鞅存在，但在极限下发散或消失。在剩余部分上，鞅收敛到一个非退化极限。得出此收敛性的论证同样适用于 $\Lambda$，且所需的矩条件弱于 Biggins 所使用的条件。