利用偏度和峰度界定鞅的尾部概率界限

设 $M_n= \fsu X1n$ 为独立随机变量之和，满足 $X_k\leq 1$，$\E X_k =0$ 且 $\E X_k^2=\s_k^2$ 对所有 $k$ 成立。Hoeffding 1963 定理 3 证明了 $$\P{M_n \geq nt}\leq H^n(t,p),\quad H(t,p)= \bgl(1+qt/p\bgr)^{p +qt} \bgl({1-t}\bgr)^{q -qt}$$ 其中 $$q=\ffrac 1{1+\s^2},\quad p=1-q, \quad \s^2 =\ffrac {\s_1^2+...+\s_n^2}n,\quad 0<t<1.$$ Bentkus 2004 利用二项分布尾部作为上界改进了 Hoeffding 不等式。设 $\ga_k =\E X_k^3/\s_k^3$ 和 $\vk_k= \E X_k^4/\s_k^4$ 分别代表 $X_k$ 的偏度和峰度。本文证明了 Hoeffding 不等式的（改进）对应形式，将 $\s^2$ 替换为 $\fs \ga 1n$ 和 $\fs \vk 1n$ 的特定函数。我们的界限推广到了 $X_k$ 为鞅差的一般设定，并且可以结合 $X_k$ 的偏度和/或峰度和/或方差的知识。在以 $e^2/2$ 为界的因子范围内，这些界限是最终的。我们所有的结果都是新的，因为目前尚无包含偏度或峰度控制的不等式。