关于随机矩阵和的维数无关尾不等式及其应用

本文提出一个获取随机矩阵和尾不等式的新框架。与已有工作相比，我们的尾不等式具有以下特点：1) 高可行性——可用于研究各类矩阵函数的尾行为，例如任意矩阵范数、复矩阵（相应地为 Hermitian 矩阵）的奇异值（相应地为特征值）之和中第 $j$ 大者的绝对值之和；2) 独立于矩阵维数——它们不将矩阵维数项作为乘积因子，因而适用于高维或无限维随机矩阵的情形。为获得这些优势所付出的代价是，当求和随机矩阵个数较大时，所得不等式的收敛速度会变慢。我们还发展了矩阵随机级数与矩阵鞅差序列的尾不等式。我们亦展示了我们的尾界在若干领域的用处。在压缩感知中，我们利用所得尾不等式，在测量矩阵为随机矩阵之和且不对矩阵元素分布作任何假设的情形下，给出了限制等距性质的证明。在概率论中，我们导出了随机过程上确界的新上界。在机器学习中，我们证明了随机矩阵和的新的期望界，并通过随机采样获得了矩阵近似方案。在量子信息中，我们给出了涉及量子超图分数覆盖数的新分析。在理论计算机科学中，我们利用矩阵扩张图获得了随机性高效的采样器，其可在不依赖矩阵维数的时间内高效实现。