鞅后验预测一致性：Hausdorff 矩层次

对于可交换的伯努利序列，其 k 步预测概率 $P(X_{n+1}=\dots=X_{n+k}=0 | F_n)$ 等于后验期望 $E[(1-\theta)^k | F_n]$。通过二项展开，这取决于后验到第 k 阶的所有矩。我们证明仅第一矩本身不足以唯一确定这些量：对于 $k \geq 2$，从后验均值到 k 步预测的映射是集合值。鞅后验框架（仅约束终端值的第一个条件矩）在一般情况下不唯一确定多步预测分布。在任何严格保序评分规则下，插值预测在后验非退化时被严格支配。闭合定理表明，鞅后验唯一确定所有 k 步预测当且仅当终端值的条件分布被唯一指定。Hill 的 $A_{(n)}$ 规则在 Jeffreys Beta(1/2,1/2) 先验下是正例。误差为 $O(Var(\theta | F_n))$，随后验浓缩而消失。这些结果阐明了在可交换性下进行预测完整性所需的结构要求。