无矩的局部极限定理与更新理论

我们研究指数为 $0$ 的非负变量独立同分布和 $\tau_k$：这意味着 $\mathbf{P}(\tau_1=n) = \varphi(n) n^{-1}$，其中 $\varphi(\cdot)$ 为缓变函数，从而对所有 $\varepsilon>0$ 有 $\mathbf{E}(\tau_1^\varepsilon)=\infty$。我们证明了一个局部极限定理和局部（向上）大偏差定理，给出了当 $n$ 至少为 $\tau_k$ 的典型长度时 $\mathbf{P}(\tau_k=n)$ 的渐近式。Nagaev [21] 近期的一个更新定理是一个直接推论：$\mathbf{P}(n\in\tau) \sim \mathbf{P}(\tau_1=n)/\mathbf{P}(\tau_1 > n)^2$ 当 $n\to\infty$。相反，如果我们仅假设 $\mathbf{P}(n\in\tau)$ 的正则变性和 $U_n:= \sum_{k=0}^n \mathbf{P}(k\in\tau)$ 的缓变性，我们得到一个类似的等价关系，但将 $\mathbf{P}(\tau_1=n)$ 替换为其在一个短区间上的平均。我们给出了一个应用于两个独立更新首次相交分布局部渐近的例子。我们进一步推导了向下中偏差和大偏差估计，即当 $n$ 远小于 $\tau_k$ 的典型长度时 $\mathbf{P}(\tau_k \leq n)$ 的渐近式。