续理论基本极限定理的证明

设 $\{q_n\}_{n=0}^\infty\subset [0,1]$ 满足 $q_0=0$，$\sum_{n=0}^\infty q_n=1$，且 $\gcd\{n\geq 1\mid q_n\neq 0\}=1$。我们考虑以下过程：设 $x$ 为实数。我们首先将 $x=0$。然后每次以概率 $q_i~(i=0,1,2,\cdots)$ 将 $x$ 增加 $i$。对于 $n\geq 0$，设 $p_n$ 为概率，使得 $x=n$ 发生，所以我们有 $p_0=1$ 且 $p_n=q_1p_{n-1}+q_2p_{n-2}+\cdots+q_np_0~(n\geq 1)$。在此设置下，我们有 $\lim_n p_n=1/\sum_{i=0}^\infty iq_i$，其中若 $\sum_{i=0}^\infty iq_i=+\infty$，则定义 $1/\sum_{i=0}^\infty iq_i=0$。此结果称为（离散情况下的）Blackwell 的续理论定理。$\lim_n p_n=1/\sum_{i=0}^\infty iq_i$ 的证明并不 trivial，而其意义是清晰的，因为增加数 $i$ 的期望值为 $\sum_{i=0}^\infty iq_i$。许多关于此结果的证明已给出。在本文中，我们也提供此结果的证明。我们证明的思想基于傅里叶分析方法和几乎收敛序列的Tauberian定理，尽管实际上我们只需要基础分析。