关于某类整数集的自然密度

令 $a_0=b_0=0$ 且 $0<a_1\leq b_1<a_2\leq b_2<\ldots\leq b_{n}$ 为整数。令 $Q\left(x;\bigcup_{j=1}^{n}[a_j,b_j]\right)$ 为介于 $1$ 和 $x$ 之间且其素因数分解中所有指数均属于 $\bigcup_{j=1}^{n}[a_j,b_j]$ 的整数个数。下述公式成立：$$\lim_{x\to\infty}{\frac{Q\left(x;\bigcup_{j=1}^{n}[a_j,b_j]\right)}{x}}=\prod\limits_{p}\sum\limits_{i=0}^{n}\left(\frac{1}{p^{a_{i}}}-\frac{1}{p^{b_{i}+1}}\right).$$ 在本文中，我们证明这一结果并随后将其推广。