关于可表示为 k 次方素数之和的整数

设 $k>1$ 为自然数，记 $f_k(n)$ 为自然数 $n$ 表示为 $p^k+q^k$（其中 $p,q$ 为素数）的不同表示数目。我们证明，对所有 $k>1$，都有 $$\limsup_{n\to\infty}f_k(n)=\infty。$$ 这正好回答了 Erdos 的猜想：是否存在自然数 $n$ 使得其可表示为 $p_1^k+p_2^k+\dots+p_k^k$（其中 $p_1,p_2,\dots,p_k$ 为素数）的不同表示数目无穷大。