与 Frobenius 问题相关的素数幂分布

设 $1<c<d$ 为两个互质的整数，$g_{c,d}=cd-c-d$，且 $\mathbb{P}$ 为素数集合。对于任意给定的整数 $k \geq 1$，我们证明了以下式子成立：$$\#\left\{p^k\le g_{c,d}:p\in \mathbb{P}, ~p^k=cx+dy,~x,y\in \mathbb{Z}_{\geqslant0} \right\}\sim \frac{k}{k+1}\frac{g^{1/k}}{\log g} \quad (\text{as}~c\rightarrow\infty),$$ 这给出了 Ding、Zhai 与 Zhao 最近结果的一个推广。