素数作为斐波那契数之和

本文旨在讨论素数与斐波那契数之和之间的关系。我们的主要结果之一表明，对于每一个足够大的整数 $k$，都存在一个素数，它可以表示为 $k$ 个不同且非连续的斐波那契数之和。这一性质与某个特定态射序列的素数定理密切相关并以此为基础。该素数定理的证明，结合一个相应的局部结果，是本文的核心贡献，我们由此推导出开头所述的结果。此类问题已在基-$q$ 展开的背景下被深入讨论。Gelfond 问题（1968/1969）和 Sarnak 猜想是这一发展的驱动力。Mauduit 和 Rivat 解决了素数数字和（2010）与平方数数字和（2009）的问题，从而仅留下第三个 Gelfond 问题的一部分未解决。后来，第二作者（2017）证明了 Sarnak 猜想对所有自动序列成立，这些序列基于整数的 $q$ 进制展开，并极大地推广了基 $q$ 下的数字和函数。为了获得斐波那契数的相应结果，我们必须大幅扩展 Mauduit 和 Rivat 的方法。事实上，我们显著偏离了这一方法，证明了 $\exp(2\pi i \vartheta\mathsf z(n))$ 具有分布级别 $1$（这里 $\mathsf z(n)$ 是将 $n$ 写为其和所需的斐波那契数的个数）。后一结果构成了我们处理所出现的 $\textrm I$ 型和 $\textrm{II}$ 型和的核心部分，并使用与 $\mathsf z(n)$ 相关的 Gowers 范数作为核心技术工具。Gowers 范数在我们方法中的出现与 van der Corput 不等式的一个新推广的迭代应用密切相关。