关于形如两平方和加一的素数的 Goldbach 问题

我们研究了由多项式 $x^2+y^2+1$ 表示的素数的 Goldbach 问题。这类素数在所有素数集合中是稀疏的，但 Linnik 已确立了此类素数的无穷性。我们证明了几乎所有满足某些必要局部条件的偶数 $n$ 都可以表示为两个形如 $x^2+y^2+1$ 的素数之和。这改进了 Matom"aki 的结果，后者指出几乎所有满足局部条件的偶数 $n$ 是一个形如 $x^2+y^2+1$ 的素数与一个普通素数之和。我们还解决了类似的三元 Goldbach 问题，指出每个大奇数 $n$ 都是三个由我们多项式表示的素数之和。作为证明的副产品，我们证明了形如 $x^2+y^2+1$ 的素数包含无穷多个三项等差数列，并且对于无理数 $\alpha$ 和遍历形如 $x^2+y^2+1$ 的素数 $p$，数 $\alpha p \pmod 1$ 的分布相当均匀。