多项式 $X^2+(Y^2+1)^2$ 与 $X^{2} + (Y^3+Z^3)^2$ 同样捕获其素数
数论
2023-07-24 v3
摘要
我们证明了存在无穷多个形如 和 的素数。这推广了 Friedlander 和 Iwaniec 关于存在无穷多个形如 的素数的工作。更确切地说，Friedlander 和 Iwaniec 获得了此类素数个数的渐近公式。对于序列 和 ，我们建立了 Type II 信息，其范围过窄不足以给出渐近公式，但我们可以利用 Harman 筛法对形如 和 的素数产生正确数量级的下界。对 Type II 和的估计被归约为一个计数问题，该问题通过 Weil 界解决，其中算术输入与 Friedlander 和 Iwaniec 关于 的工作颇为不同。我们还证明了存在无穷多个素数 ，其中 由一个具有 个变量的不完全范型（incomplete norm form）表示，次数为 。为此我们需要超 Kloosterman 和相关的 Deligne 型界。
引用
@article{arxiv.2112.03617,
title = {The polynomials $X^2+(Y^2+1)^2$ and $X^{2} + (Y^3+Z^3)^2$ also capture their primes},
author = {Jori Merikoski},
journal= {arXiv preprint arXiv:2112.03617},
year = {2023}
}
备注
v3: Corrections to some parts of the proofs v2: Added Theorem 3 on primes p=a^2+N(b_1,...,b_{k-1})^2, where N is an incomplete norm form od degree k, small corrections elsewhere