具有较小 $x_3$ 的方程 $x_1^2+x_2^2-x_3^2=n^2$ 的解

Friedlander 与 Iwaniec 研究了方程 $x_1^2+x_2^2-x_3^2=D$ 的整数解 $(x_1,x_2,x_3)$，其中 $D$ 无平方因子且满足同余条件 $D\equiv 5\bmod{8}$。他们给出了 $x_3\asymp M$ 的解的渐近公式，其中 $M$ 远小于 $\sqrt{D}$。确切地说，其条件为 $M\ge D^{1/2-1/1332}$。他们的分析引出了某些 Weyl 和的平均。无平方因子这一 $D$ 的条件在其工作中至关重要。我们研究“相反”情形，即 $D=n^2$ 为奇整数 $n$ 的平方。该情形性质不同，并导致 Kloosterman 和之和。我们对 $x_3\asymp M$ 的解给出了渐近公式，其中对任意固定 $\varepsilon>0$ 有 $M\ge D^{1/2-1/16+\varepsilon}$。