二次型的约数之和

我们研究二次型 $m_1^2+m_2^2+m_3^2$ 的约数之和。设 $$S_3(X)=\sum_{1\le m_1,m_2,m_3\le X}\tau(m_1^2+m_2^2+m_3^2)。$$ 我们得到渐近公式 $$S_3(X)=C_1X^3\log X+ C_2X^3+O(X^2\log^7 X)，$$ 其中 $C_1,C_2$ 为两个常数。这改进了 Guo 和 Zhai 得到的误差项 $O_\varepsilon(X^{8/3+\varepsilon})$。