关于除数函数的双曲分数和

设 $\tau(n)$ 表示经典的除数函数。本文考虑由 $$T(x) = \sum_{n_1 n_2 \leqslant x} \tau\left( \left[ \frac{x}{n_1 n_2} \right] \right) = \sum_{n \leqslant x} \tau\left( \left[ \frac{x}{n} \right] \right) \tau(n)$$ 定义的除数函数的双曲分数和，其中 $[t]$ 表示实数 $t$ 的整数部分。通过建立一类带常数扰动的三维指数和的新估计，我们得到了 $T(x)$ 的一个改进的渐近公式。特别地，我们证明了对任意 $\varepsilon > 0$，$T(x)$ 渐近展开中的误差项由 $O(x^{17/30+\varepsilon})$ 界定。这一结果突破了对应于经典除数问题猜想 $1/4+\varepsilon$ 的 $4/7$ 障碍。