短区间内的除数函数与黎曼$\zeta$函数

对于$T^\epsilon \le U=U(T)\le T^{1/2-\epsilon}$，我们获得了以下积分的渐近公式：$$\int_T^{2T}(E(t+U) - E(t))^2 dt,\quad \int_T^{2T}(\Delta(t+U) - \Delta(t))^2 dt,$$其中$\Delta(x)$是经典除数问题中的误差项，$E(T)$是$|\zeta(1/2+it)|$均方公式中的误差项。研究表明，对于上述积分，若将平方替换为四次方，则在$T^{3/8} \le U =U(T) \ll T^{1/2}$范围内，形式为$O_\epsilon(T^{1+\epsilon}U^2)$的上界成立。文中还给出了$E(t+U) - E(t)$的矩与$|\zeta(1/2+it)|$之间的联系，并讨论了推广至其他数论误差项的情形。