黎曼$\zeta$函数的混合矩

研究了黎曼$\zeta$函数 $\zeta(s)$ 在临界线 $\Re s = 1/2$ 上的“混合”矩 $$\int_T^{2T}|\zeta(1/2+it)|^k{(\int_{t-G}^{t+G}|\zeta(1/2+ix)|^\ell dx)}^m dt$$。上述表达式的预期上界为 $O_\epsilon(T^{1+\epsilon}G^m)$。本文证明了对于自然数 $k,\ell,m$ 的某些特定值以及明确确定的 $G = G(T;k,\ell,m)$ 范围，该结论成立。此外，还给出了其在 $|\zeta(1/2+ix)|^4$ 的 Mellin 变换函数均方界中的应用。