Riemann zeta 函数幂的 Laplace 变换与 Mellin 变换

本文综述关于 Laplace 变换 $$L_k(s) := \int_0^\infty |\zeta(1/2+ ix)|^{2k}{\rm e}^{-sx}{\rm d} x \qquad(k \in N, \R s > 0),$$ 与(修正的) Mellin 变换 $${\cal Z}_k(s) := \int_1^\infty|\zeta(1/2+ ix)|^{2k}x^{-s}{\rm d} x\qquad(k\in N),$$ 的已知结果,其中积分在 $\R s \ge c(k) > 1$ 时绝对收敛。同时也给出了关于 $|\zeta(1/2+ ix)|^{2k}$ 的这些积分变换的一些新结果,它们与 Riemann zeta 函数 $\zeta(s)$ 的幂矩有重要联系。