$\zeta(s)$ 均方误差项函数的求和

本文研究了形如 $\sum_{n\le x}E^k(n)$（$k\in{\bf N}$ 固定）的求和，其中 $$E(T) = \int_0^T|\zeta(1/2+it)|^2 dt - T\Bigl(\log {T\over2\pi} + 2\gamma -1\Bigr)$$ 是 $|\zeta(1/2+it)|$ 均方公式中的误差项。重点在于 $k=1$ 的情况，这比除数问题中相应的求和更为困难。该分析需要对 $\rm e^{2\pi m}$ 的无理性度量及其连分数展开中的偏商进行界定。