二次因子问题与 Riemann zeta 函数的矩

我们渐近估计了被长度为 $T^{\frac14 - \varepsilon}$ 的 Dirichlet 多项式扭曲的 Riemann zeta 函数的四阶矩。我们的工作关键依赖于关于 Kloosterman 分式平均值的 Watt 定理。在扭曲四阶矩的背景下,Watt 的结果是对 Selberg 特征值猜想的最优替代。我们的工作推广了 Hughes 和 Young 的先前结果,后者考虑了长度为 $T^{\frac{1}{11}-\varepsilon}$ 的 Dirichlet 多项式。我们的结果有若干应用,包括应用于 Riemann zeta 函数临界零点的比例、零点间距以及矩的下界。在此过程中,我们得到了一个二次因子问题的渐近公式,其中条件 $a m_1 m_2 - b n_1 n_2 = h$ 在变量 $m_1, m_2, n_1, n_2, h$ 上进行光滑平均求和,并在 $a,b$ 的平均中采用任意权重。利用 Watt 的工作使我们能够同时利用所有的平均。结果表明,在二次因子问题中直接对 $m_1, m_2, n_1, n_2, h$ 进行平均,极大地简化了扭曲四阶矩中主项的组合学。