关于除数函数 $\tau(n)$ 的渐近行为

对于 $\mu>0$，我们研究了由 $$T_{n}(\mu)=\frac{max_{1\leq m \leq {n^{\frac{1}{\mu}}}}\{\tau (n + m)\}}{\tau(n)},\ n=1,2,...$$ 定义的序列的渐近行为，其中 $\tau(n)$ 表示给定 $n\in \mathbb{N}$ 的自然除数个数。进行此项观察的动机是探索 $\tau$ 函数在自然数的小邻域内是否快速振荡。