涉及最大公约数的 M"obius 函数的求和函数

令 $\gcd(m,n)$ 表示正整数 $m$ 和 $n$ 的最大公约数，令 $\mu$ 表示 M"obius 函数。对于任意实数 $x>5$，我们将涉及最大公约数的 M"obius 函数的求和函数定义为 $S_{\mu}(x) := \sum_{mn\leq x} \mu(\gcd(m,n)).$ 在本文中，我们给出了 $S_{\mu}(x)$ 的渐近公式。假设 Riemann 假设成立，我们进一步探讨了 $S_{\mu}(x)$ 的渐近行为，并推导了其余项的均方估计。我们的证明采用了 Perron 公式、Parseval 定理、复积分技术以及 Riemann zeta 函数的性质。