关于一个与Möbius函数相关的和的注记

对整数$n\geqslant 1$与实数$z\geqslant 1$，定义$M(n,z):=\sum_{d|n,\,d\leqslant z}\mu(d)$，其中$\mu$表示Möbius函数。令${\cal L}(y):=\exp\left\{(\log y)^{3/5}/(\log_2y)^{1/5}\right\}$ $(y\geqslant 3)$。我们证明，对某个合适的显式常数$L>0$与某绝对常数$c>0$，在$x\geqslant 1$、$\xi\leqslant z\leqslant x/\xi$下一致地有$S(x,z)= Lx+O\left({x/{\cal L}(3\xi)^c}\right)$。