梅滕斯函数的计算及梅滕斯猜想界限的改进

梅滕斯函数定义为 $M(x) = \sum_{n \leq x} \mu(n)$，其中 $\mu(n)$ 为默比乌斯函数。梅滕斯猜想断言对于 $x > 1$ 有 $|M(x)/\sqrt{x}| < 1$，该猜想已于1985年被证明不成立，通过展示 $\liminf M(x)/\sqrt{x} < -1.009$ 且 $\limsup M(x)/\sqrt{x} > 1.06$。本文利用当今的硬件与算法重新审视了相同的方法，给出了改进的下界和上界：$-1.837625$ 和 $1.826054$。此外，计算了所有 $x \leq 10^{16}$ 的 $M(x)$，记录了所有极值、所有零点以及以固定间隔采样的 $10^8$ 个值。最后，将一个以 $O(x^{2/3+\varepsilon})$ 时间计算 $M(x)$ 的算法应用于直至 $2^{73}$ 的所有2的幂次。