关于$(-2)^{\Omega(n)}$和函数的新界及对猜想的推进

在本文中，我们研究和函数\begin{equation*} W(x)=\sum_{n\leq x}(-2)^{\Omega(n)}, \end{equation*}其中$\Omega(n)$计算$n$的素因子个数（计重数）。我们证明了$W(x)=O(x)$，特别地，对所有$x\geq 1$有$|W(x)|<2260x$。这一结果为推进孙猜想提供了新进展，该猜想询问是否对所有$x\geq 3078$有$|W(x)|<x$。为获得我们的结果，我们计算了默滕斯函数$M(x)$的新显式界。这些结果可能具有独立意义。此外，我们获得了类似的结果，并对更一般的函数\begin{equation*} W_a(x)=\sum_{n\leq x}(-a)^{\Omega(n)} \end{equation*}（对任意实数$a>0$）提出了进一步猜想。