梅滕斯函数与黎曼 zeta 函数倒数的新显式界

本文建立了梅滕斯函数 $M(x)$ 的新显式界。特别地，我们将 $M(x)$ 与黎曼 zeta 函数 $\zeta(s)$ 非平凡零点的短和进行比较，其差值可利用近期计算及 $\zeta(s)$ 倒数的显式界来界定。利用此关系，我们能够证明 $M(x) \ll x\exp\left(-\eta_1 \sqrt{\log{x}}\right)$ 与 $M(x) \ll x\exp\left(-\eta_2 (\log{x})^{3/5} (\log\log{x})^{-1/5}\right)$（对某些 $\eta_i > 0$）的显式版本。我们具有后一形式的界是此类首个显式结果。在证明过程中，我们建立了另一新结果，即形如 $1/\zeta(\sigma + it) \ll (\log{t})^{2/3} (\log\log{t})^{1/4}$ 的显式界。