从统计力学视角看 Mertens 函数的上界

我们通过统计力学方法给出了 Mertens 函数($M(n)$:M$\ddot{\mathrm{o}}$bius 函数的累积和)的一些上界,其中将 M$\ddot{\mathrm{o}}$bius 函数视为无自旋间交换相互作用的修正一维(1D)Ising 模型的特定状态。进一步,基于统计力学的假设与结论,我们讨论了 $M(n)$ 可等价于独立随机序列之和的问题。这在等价概率意义下成立,由此可推得 $M(n)$ 的另两个上界。此外,若 $M(n)$ 为被测物理量,从正则系综中能量涨落的观点看,其以概率 $>1-\alpha$ ($0<\alpha<1$) 的上界为 $\sqrt{\frac{B}{\alpha} n}$($B$ 为常数)。