Beurling 素数下 Möbius 函数的平均阶

本文研究广义素数系统 $\mathcal{N}$ 的计数函数 $\psi_\mathcal{P}(x)$、$N_\mathcal{P}(x)$ 与 $M_\mathcal{P}(x)$。其中 $M_\mathcal{P}(x)$ 为 $\mathcal{N}$ 中不超过 $x$ 的 Möbius 函数的部分和。特别地,我们研究这些函数在渐近良态时的情形,即对某些 $\rho >0$ 及 $\alpha, \beta, \gamma<1$,有 $\psi_{\cal{P}}(x) = x+O({x^{ \alpha+\epsilon }})$、$N_{\cal{P}}(x) = \rho x+O({x^{ \beta+\epsilon }})$ 与 $M_\mathcal{P}(x) = O(x^{\gamma+\epsilon})$。我们证明 $\alpha,\beta,\gamma$ 中最大的两个必相等且至少为 $\frac{1}{2}$。