关于Bateman和Diamond涉及带Malliavin型余项的抽象素数定理猜想的注记

给定$\beta\in(0,1)$，我们证明存在一个Beurling广义数系，其整数计数满足$N(x) = ax + O\bigl(x\exp(-c\log^{\beta} x)\bigr)$（对某$a>0$和$c>0$），且其素数计数函数满足$\pi(x) = \mathrm{Li}(x) + \Omega\bigl(x\exp(-c'(\log x)^{\frac{\beta}{\beta+1}})\bigr)$（对某$c'>0$）。这是通过推广Diamond、Montgomery和Vorhauer的构造实现的。该Beurling数系为Bateman和Diamond于1969年提出的关于带Malliavin型余项的素数定理（PNT）的猜想提供了额外的动机。