Beurling zeta 函数、广义素数及分形膜

我们研究广义素数系统 $\mathcal{P}$ $(1<p_1\leq p_2\leq...,$ 其中 $p_j\in\R$ 趋于无穷)以及相关的 Beurling zeta 函数 $\zeta_{\mathcal{P}}(s) =\prod_{j=1}^{\infty} (1-p_j^{-s})^{-1}$。在适当假设下,我们建立了 $\zeta_{\mathcal{P}}(s)$ 的多种解析性质,包括其解析延拓,并刻画了合适的广义函数方程的存在性。特别地,我们考察了素数定理(带误差项)的对应物与 $\zeta_{\mathcal{P}}(s)$ 解析延拓性质之间的关系。进一步,我们研究“良态”的 g-素数系统,即素数计数函数与整数计数函数均渐近良态的系统。最后,我们证明广义素数系统与 $\N^2$ 上的适当序之间存在自然对应。上述某些结果可能与第二作者关于“分形膜”的理论相关,其谱配分函数正由 Beurling zeta 函数给出。