关于二次多项式值上第$k$个除数函数的平均和

设$F({\bf x})\in\mathbb{Z}[x_1,x_2,\dots,x_n]$为含$n\geq 3$个变量且具有非奇异二次部分的二次多项式。利用圆法，我们对和$$\Sigma_{k,F}(X; {\mathcal{B}})=\sum_{{\bf x}\in X\mathcal{B}\cap\mathbb{Z}^{n}}\tau_{k}\left(F({\bf x})\right),$$导出渐近公式，其中$X$趋于无穷，$\mathcal{B}\subset\mathbb{R}^n$为一个$n$维盒子，使得对所有充分大的$X$有$\min\limits_{{\bf x}\in X\mathcal{B}}F({\bf x})\ge 0$，且$\tau_{k}(\cdot)$为任意整数$k\ge 2$的第$k$个除数函数。