二次多项式值上的多维除数函数之和

设 $F({\bf x})={\bf x}^tQ_m{\bf x}+\mathbf{b}^t{\bf x}+c\in\mathbb{Z}[{\bf x}]$ 为 $\ell (\ge 3 )$ 个变量 ${\bf x} =(x_{1},...,x_{\ell})$ 的二次多项式，其中当 ${\bf x}\in\mathbb{R}_{\ge 1}^{\ell}$ 时 $F({\bf x})$ 为正，$Q_m\in {\rm M}_{\ell}(\mathbb{Z})$ 为 $\ell\times\ell$ 矩阵且其判别式 $\det\left(Q_m^t+Q_m\right)\neq 0$。借助圆法，它给出了以下和式的显式渐近公式：$$T_{k,F}(X)=\sum_{{\bf x}\in [1,X]^{\ell}\cap\mathbb{Z}^{\ell}}\tau_{k}\left(F({\bf x})\right)$$ 这里 $\tau_{k}(n)=\#\{(x_1,x_2,...,x_{k})\in\mathbb{N}^{k}: n=x_1x_2...x_{k}\}$，其中 $k\in\mathbb{Z}_{\ge 2}$，为多维除数函数。